材料参数，σapp为所施加的偏应力。因此，当偏应力σapp等于短期强度STF时，tf等于参考时间tr；当偏应力σapp小于长期强度DIT时，破坏时间tf为无限长。公式（4-34）可以进一步改写为：
式中，δ1是施加的偏应力与长期强度 的差值，δ2是短期强度SFT与施加的偏应力的差值，α1和β为材料参数，对于花岗岩而言，α1=2.7s，β=9.73。Schmidtke和Lajtai[12]对花岗岩试件进行了单轴压缩静态疲劳试验，测得了不同加载荷载下试验发生破坏时间的数据。M.Aubertin[8]利用公式（19）对这些数据进行了拟合，其中长期强度取值短期强度的一半，得到拟合的效果比较吻合。
4 数值模拟计算中的数据处理
即可以根据其相应的长期强度DIT、短期强度SFT和所施加的偏应力σapp计算出其达到破坏的时间。一般的数值模拟分析软件如FLAC只能给出应力点的9应力分量，下面将对公式（19）所需要的主应力分量σ1、σ2、σ3和洛德角σ1、σ2、σ3进行推导。
4.1主应力σ1、σ2、σ3的确定
一点的应力状态在应力空间中可以由九个应力分量表示，在固定受力情况下，应力分量的大小与坐标轴方向有关。但无论坐标轴方向如何改变，主应力的数值是不变的。弹性力学中求解主应力的一元三次应力状态特征方程如式（20）所示，它的3个实根即为所求的3个主应力σ1、σ2、σ3。
5 算例
以一个圆形隧洞为计算模型，隧洞半径r=1m，围岩影响范围R=5m，并假定隧洞围岩应变沿轴向方向不变，即为平面应变问题，垂直方向应力与侧应力相等，即σv=σh。模型的位移边界条件和应力边界条件如图3、4。
隧洞围岩取为花岗岩，以瞬时峰值强度作为短期强度 ，以微裂纹损伤强度σcd作为长期强度 ，根据文献[]可知 的取值范围约为0.71～1，取 =0.71，隧洞围岩相应的材料参数如表1所示。
取隧洞围岩边界上顶点作为研究点，选取摩尔—库伦弹塑性本构模型作为隧洞围岩材料的本构模型，利用离散元软件FLAC可以计算得出该点在隧洞刚开挖完成时的应力状态，此时围岩的材料参数应取短期强度所对应的材料参数。随着原始地应力外荷载降低，隧洞围岩达到破坏所需要的时间呈指数迅速增加，并趋向于无穷。
6 结论
（1）结合MSDPu强度准则和次临界裂纹生长理论详细推导了已知隧洞围岩任意一点其应力状态时，其达到破坏所需要的时间的表达式。
（2）对圆形隧洞顶点的应力状态进行了数值模拟计算，并推导出由该点的应力状态的九个分量计算相应的主应力分量σ1，σ2，σ3的计算方程。
（3）在不同的原始地应力外荷载作用下进行数值模拟分析，得出随着原始地应力外荷载降低，隧洞围岩达到破坏所需要的时间呈指数迅速增加，并趋向于无穷的结论。
本文得到国家自然科学基金项目的资助，项目批准号：11172101
作者：吕爱钟（1961.3-），男，山东文登人，博士，华北电力大学教授，从事岩石力学的教学与研究；