总结了CIR与CKLS利率波动模型的优点，在此基础上提出了扩展的CIR-CKLS利率波动模型，并证明了该模型非负解存在的唯一性、模型均值的回复性和解的有界性。该模型的期限结构为：
现实中，由于宏观经济政策的实施（如我国中央银行对利率的管制调整）以及市场不确定因素的存在，因此在一段时间内，利率的变化并不是连续的，而是会出现一些跳跃现象。利率的连续扩散模型从Merton模型、Vasicek模型、CIR模型到CKLS模型在利率的非负性、均值回复特性等各方面均已发展成熟，但是基于纯扩散模型的模拟数据在与现实数据的拟合中仍存在差距，特别是无法拟合现实利率的跳跃特性。因此，本文在扩展的CIR-CKLS利率波动模型的基础上加入跳跃项，构建出CIR-CKLS-Jump利率波动模型，以更好地解释由一些不可预测的随机事件而造成的利率波动的非连续性变化。该利率模型的期限结构为：
其中，跳跃部分 ，表示利率的跳跃幅度；P～P（ ），表示利率的跳跃频率。
四、实证分析
（一）数据来源
由于对连续时间短期利率模型一般采用欧拉离散化方法进行估计，为减少时间不连续所带来的模型误差，需要采用取样间隔非常短的利率即瞬时利率来估计模型，但由于现实金融市场中并不存在这种利率，因而需要采用市场上存在的其他短期利率来近似替代。根据相关性、平稳性、交易量三个标准，本文选取中国人民银行自1990年4月15日至2014年11月22日所公布的存款基准利率以及1989年2月1日至2014年11月22日所公布的贷款基准利率为样本数据，对我国商业银行存贷款利率隐含期权定价进行研究。
（二）CIR-CKLS-Jump利率波动模型参数估计及模型检验
本文对CIR-CKLS-Jump利率期限结构模型的参数估计主要采用马尔科夫链蒙特卡洛估计方法（MCMC）。MCMC方法是目前对含有随机波动和跳跃因子模型进行估计的最优方法。该方法将马尔科夫过程引入到蒙特卡洛模拟中，采用动态抽样方法，克服了传统蒙特卡洛模拟的高维概率分布难抽样的缺陷，提高了估计精度，是一种完全模拟方法。其基本思想是，首先建立一个概率模型或随机过程，使它的参数等于问题的解，然后通过对模型或过程的观察或抽样实验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求解的近似值。MCMC方法可以在不知道参数后验分布精确形式的情况下预测隐含变量，且能够处理数据缺失问题 。该方法不依赖于初始值和初始分布，通过不断地模拟估计，最终会趋于稳定的分布。这对于CIR-CKLS-Jump利率波动模型的稳定性和参数估计的精确性给出了保证。利率模型的检验主要通过比较不同利率模型模拟的结果与现实利率的离差值大小进行判断。
本文使用openbugs软件对CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行MCMC参数估计，首先需要得到所求利率R（t）的概率分布。
对式（6）进行Euler离散化，其中， ，离散结果为：
由于△R（t）=R（t）一R（t一1），则进一步可以得出R（t）与R（t-l）的关系式：
由于￡，服从于标准正态分布，因此可以得到利率R（t）的分布情况：
为简化计算，取△t=1，则R（t）分布为：
根据R（t）的分布，使用openbugs软件编程进行MCMC参数估计。各参数估计结果如表1、表2所示。
1.定期存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型参数估计及模型检验
以5年期定期存款基准利率为估计样本，通过MCMC方法对定期存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行参数估计，迭代50000次后得到各参数的迭代轨迹如图1。
图1可以看出，各参数迭代轨迹从一开始就趋于平稳，所以未舍弃任何燃烧期。最终得出各参数的估计值，如表1所示。表1存款利率模型参数估计值图1 5年期定期存款基准利率模型各参数模拟轨迹
因此，可确定5年期定期存款基准利率迭代式为：
对存款利率模型（11）离散化处理，取△t=1个月，模拟在当前初始利率状态下，经过n年即12×n个月的时间后，利率可能经过的路径。图2是对一条利率的5000次模拟。可以看出，利率在0.0495处上下波动，表现出强烈的均值回复性，利率波动最大值为0.06左右，最小为0.041左右，模拟5000次未出现负值，与现实利率波动情况拟合较好。
进一步与刘凤琴（2011）给出的存款CKLS-Jump利率波动模型进行比较，该模型给出的利率期限结构模型为：
以5年期定期存款基准利率为例，将存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型（11）与存款CKLS-Jump利率波动模型（12）分别进行10000次模拟，将各期的利率值与现实中的数据（现实数据取1990年4月15日到2012年7月6日间33个5年期定期存款基准利率平均值）进行比较，通过比较两者的离差绝对值大小反映与现实利率的拟合程度。
如图3所示，虚线表示CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹，实线表示CIR-CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹。使用蒙特卡洛模拟运行10000次之后发现（两者均已趋向于平衡），CIR-CKLS-Jump利率波动模型比CKLS-Jump利率波动模型的离差值小得多，其中CIR-CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.0128，CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.054。说明存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型能更准确地描述现实存款基准利率的波动。利率波动模型离差值比较表2贷款利率模型参数估计值
2.定期贷款CIR-CKLS-Jump利率波动模型参数估计及模型检验
以5年以上中长期定期贷款基准利率为估计样本，通过MCMC方法对定期存款CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行参数估计，迭代50000次后得到各参数的迭代轨迹如图4。
图4可以看出，各参数迭代轨迹从10000次迭代后趋于平稳。最终得出各参数的估计值，如表2所示。
因此，可确定5年以上中长期定期贷款基准利率迭代式为：
对贷款利率模型离散化处理，取 t=1个月，模拟在当前初始利率状态下，经过n年即n×12个月的时间后，利率可能经过的路径。图5是对一条利率的5000次模拟。可以看出，利率在0.05836处上下波动，表现出强烈的均值回复性。利率波动最大值为0.105左右，最小为0.04左右，模拟5000次未出现负值，与现实利率波动情况拟合较好。
进一步与刘凤琴（2011）给出的贷款CKLS-Jump利率波动模型进行比较，该模型给出的利率期限结构模型为：
图5基于CIR-CKLS-Jump模型的5年以上
中长期定期贷款利率波动路径模拟结果
以5年以上中长期定期贷款基准利率为例，将贷款CIR-CKLS-Jump利率波动模型（12）与贷款CKLS-Jump利率波动模型（13）分别进行10000次模拟，将各期的利率值与现实中的数据（现实数据取1989年2月1日到2012年7月6日间39个5年以上中长期定期贷款基准利率平均值）进行比较，通过比较两者的离差绝对值反映与现实利率的拟合程度。
如图6所示，虚线表示CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹，实线表示CIR-CKLS-Jump利率波动模型与现实数据的离差值收敛轨迹。使用蒙特卡洛模拟运行10000次之后发现（两者均已趋向于平衡），CIR-CKLS-Jump利率波动模型比CKLS-Jump利率波动模型的离差值小得多，其中CIR-CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.0303，CKLS-Jump利率波动模型的离差值为0.069。说明贷款CIR-CKLS-Jump利率波动模型能更准确地描述现实贷款基准利率的波动。图6 贷款CIR-CKLS-Jump与CKLS-Jump
利率波动模型离差值比较
（三）基于CIR-CKLS-Jump利率波动模型的银行隐含期权定价
蒙特卡洛模拟的实质是通过随机抽样的样本均值来近似代替随机分布的总体期望值，从而得到对随机分布数学期望的实际估计的数值分析方法。其基本思想是首先在风险中性测度下模拟利率在有效期内的波动路径，然后计算出每条模拟路径上的隐含期权价值，最后对所有模拟出的样本路径上的相应期权值求平均值并得到隐含期权的估计数值解，该数值解随着模拟次数的增多而不断逼近解析解。本文通过Matlab对CIR-CKLS-Jump利率波动模型进行模拟，并采用对偶变量方差减少技术的蒙特卡洛模拟方法对银行存贷款隐含期权进行定价。
1.存款中隐含期权定价
模拟计算出每条利率波动路径上的隐含期权价值并求得平均值，根据大数定理，当模拟次数足够多时，样本均值即可近似于所求样本期望值。
利用Matlab对存款中的隐含期权进行对偶变量方差减少技术蒙特卡洛模拟，得出存款利率的隐含期权价值，如图7所示。图7存款中银行隐含期权定价的蒙特卡洛模拟
模拟运行3000次以内时，存款隐含期权值波动较大，且不稳定，运行超过6000次后期权值趋于稳定，最终期权值为0.002967。根据无套利定价理论，商业银行5年期存款利率应为：5年期定期存款基准利率一隐含期权价格，即0.0475-0.002967=0.044533。
2.贷款中隐含期权定价
模拟计算出每条利率波动路径上的隐含期权价值并求得平均值，根据大数定理，当模拟次数足够多时，样本均值即可近似于所求样本期望值。
利用Matlab对贷款中的隐含期权进行对偶变量方差减少技术蒙特卡洛模拟，得出存款利率的隐含期权价值。对贷款中隐含期权价值进行模拟，由于各银行对提前还款需支付的违约金要求不同，为综合考虑，取大型国有银行通用违约金计算方法和计算均值，即收取提前还款金额的4%作为违约金。最终计算出隐含期权价值，如图8所示。
图8贷款中银行隐含期权定价的蒙特卡洛模拟
模拟运行6000次以内时，贷款隐含期权值波动较大，且不稳定，运行超过7000次后期权值趋于稳定，最终期权值为0.00052。根据无套利定价理论，商业银行5年以上中长期定期贷款利率应为：5年以上中长期定期贷款基准利率+隐含期权价格，即0.0655+0.00052=0.06602。
五、结论与建议
随着金融改革的深化，利率市场化也在不断推进，利率市场化在提高金融市场活力和效率的同时，也使得商业银行面临着更加严重的不确定性，给商业银行带来了极大的风险。本文以5年期定期存款基准利率与5年以上中长期定期贷款基准利率为研究对象，构建出更符合利率市场波动的CIR-CKLS-Jump利率动态波动模型，并在此基础上采用对偶变量方差减少技术的蒙特卡洛模拟方法对商业银行隐含期权进行了定价。研究得出：
（1） CIR-CKLS-Jump利率动态波动模型在描述利率波动过程中表现出了较明显的均值回复性，且与现实数据实现了较准确的拟合，能够更好地模拟现实利率的变化过程。（2）当前我国商业银行存贷款存在隐含期权，且为实值，这与叶志强、陈习定等（2011）的研究结论基本一致。其中5年期定期存款基准利率期权值为0.002967，5年以上中长期定期贷款基准利率期权值为0.00052。
利率市场化使利率风险的管理处在了更为重要的位置，隐含期权的存在增加了市场利率风险也提高了商业银行利率定价的难度，本文在前人研究的基础上进一步揭示了利率波动规律，通过计算机模拟并估计出了商业银行5年期定期存款和5年以上中长期定期贷款隐含期权价值。在利率完全市场化的情况下，我国商业银行在开展存贷款业务时若能充分考虑隐含期权的价值，将有助于降低商业银行的利率风险，提高利率定价能力。